Áreas de Investigación

Las variedades proyectivas completas dotadas de una estructura de grupo se denominan variedades abelianas. Entre los ejemplos se incluyen las variedades jacobianas —asociadas a superficies de Riemann compactas— y las variedades de Prym.

La acción de un grupo finito sobre una variedad abeliana induce una descomposición por isogenia en subvariedades abelianas de menor dimensión, descomposición estrechamente relacionada con las representaciones irreducibles del grupo. Nos centramos en el estudio de las acciones de grupo sobre variedades abelianas, con énfasis en las propiedades de las representaciones inducidas por la acción del grupo sobre objetos geométricos relevantes.

Cuando la superficie de Riemann subyacente es la esfera de Riemann, un objeto de estudio importante es la dinámica iterativa de las funciones racionales. Cada función racional tiene asociado un invariante aritmético llamado su cuerpo de móduli (FOM). Es sabido que el cuerpo de móduli es un cuerpo de definición (FOD) para funciones racionales de grado par o para funciones equivalentes a polinomios (J. Silverman). Para funciones racionales de grado impar esto no siempre es cierto; sin embargo, nuestro grupo ha demostrado que siempre existe un cuerpo de definición dado por una extensión cuadrática del cuerpo de móduli.

Estamos interesados en comprender el problema FOD/FOM y, en particular, en describir las órbitas de Galois de funciones racionales.

Las simetrías en geometría diferencial surgen de dos maneras distintas: infinitesimalmente o globalmente. Las simetrías infinitesimales desempeñan un papel central en el estudio de distribuciones de k-planos y son, por tanto, ubicuas en problemas que van desde las foliaciones suaves hasta la teoría de control geométrico, todos estrechamente relacionados con las propiedades de holonomía de las distribuciones correspondientes. Para estudiar estas simetrías recurrimos ampliamente a métodos de la teoría de Lie y de las álgebras de Lie.

Las simetrías globales de un sistema diferencial pueden codificarse mediante estructuras geométricas adicionales —con frecuencia inducidas por métricas, formas diferenciales o datos geométricos relacionados—. Las simetrías globales inducen naturalmente simetrías infinitesimales, mientras que estas últimas, aunque conceptualmente más simples, raramente proporcionan información global.

Las superficies K3 son superficies algebraicas complejas con una geometría extraordinariamente rica, lo que las convierte en un área activa e importante de investigación en geometría algebraica. El estudio de sus automorfismos proporciona una herramienta poderosa para comprender la geometría de estas superficies.

Investigamos superficies K3 que admiten automorfismos simpléticos —automorfismos cuya acción sobre la 2-forma holomorfa es trivial— así como automorfismos no simpléticos, estudiando sus invariantes y espacios de móduli. También nos interesan las generalizaciones naturales de dimensión superior de las superficies K3, tales como las variedades simpléticas holomorfas irreducibles y las variedades de Calabi–Yau, junto con sus grupos de automorfismos.

Esta área se centra en el estudio de las simetrías, uniformizaciones y aspectos algebraicos de las variedades complejas compactas unidimensionales, es decir, las superficies de Riemann. Solo un número reducido de estos objetos posee simetrías no triviales, y estas dan lugar al locus singular en los espacios de móduli.

Las superficies de Riemann compactas también pueden describirse mediante curvas algebraicas complejas y, en algunos casos, estas curvas están definidas sobre el cuerpo de los números algebraicos. Dichas curvas corresponden a los dessins d'enfants de Grothendieck y a las curvas de Belyi. Estudiamos familias de ejemplos a través de invariantes algebraicos provenientes de la geometría algebraica, la teoría de grupos y la combinatoria, y estamos interesados en describir extensiones de grado mínimo de los cuerpos de definición sobre el cuerpo de móduli correspondiente, así como en estudiar nuevos invariantes de Galois en el contexto de los dessins d'enfants.